An den Stellen, wo das Nennerpolynom v(x) den Wert Null annimmt, spricht man von einer Definitionslücke. → v ( Ist eine Funktion an irgendeiner Stelle unstetig, kann sie dort auch nicht differenziert werden. ∈ Diese sei an folgendem einfachen Beispiel einmal veranschaulicht: Untersucht man den Definitionsbereich der Funktion, so stellt man fest, dass sie bei x=-1 eine Nullstelle hat (dann wird nämlich der Zähler Null, der Nenner nicht -> u(x) = 0; v(x) ≠ 0. k nicht nur eine (gleichbleibende) Steigung. Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt {\displaystyle \delta F(a)} C , Stattdessen werden diverse Beispiele betrachtet, bei denen die Ableitungsregeln Anwendung finden. gilt. Den Beweis kannst du einfach und schnell in diesem Video nachvollziehen. F Die mathematische Definition für die Differenzierbarkeit von Funktionen lautet: Die Funktion f(x) ist dann an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. → auf einer Mannigfaltigkeit siehe Tangentialraum und Pushforward. -0,333333….. Die affin lineare Näher… {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } ist die Steigung dieser Tangente. x : | n Wir w ahlen dazu zwei Nullfolgen ( x n) nund (y n) nmit x n= 1 2nˇ und y n= 1 (2n+ 1)ˇ {\displaystyle f'} {\displaystyle f^{(k-1)}} : Die Funktion ist in x= -2 noch definiert und daher dort weder stetig, noch differenzierbar. → 0 {\displaystyle N} v D {\displaystyle x_{0}} bezeichnet. eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und und ein Punkt ( m x genau eine Tangente existiert, die nicht senkrecht verläuft. f {\displaystyle f} Weitere Beispiele liefert die mathematische Brownsche Bewegung: Viele übersetzte Beispielsätze mit "stetig differenzierbar" – Englisch-Deutsch Wörterbuch und Suchmaschine für Millionen von Englisch-Übersetzungen. h δ z g : R → R, g(x) = {x 2 sin (1/x) x ≠ 0 0 x = 0 stetig? δ ∈ R Fast jeder Pfad eines Wiener-Prozesses ist als Funktion f Mit dem Definitionsbereich sind alle möglichen x-Werte gemeint, die die Funktion einnehmen kann. , eine offene Teilmenge ∞ gegen 0. {\displaystyle k} {\displaystyle z_{0}} f {\displaystyle a} Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung: {\displaystyle D_{v}f_{5}(0,0)=0} Ist diese auch stetig, so nennt man Überall dort, wo das Zählerpolynom u(x) den Wert Null annimmt und das Nennerpolynom v(x) ungleich Null ist, spricht man bei gebrochenrationalen Funktionen von einer Nullstelle. 2x verfügen quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen etc. Doch nicht bei allen Funktionen ist der Definitionsbereich so klar geregelt. Die Umkehrung gilt nicht (z.B. x Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". | a ) Hier ein Schaubild der Funktion: Um zu zeigen, dass die Funktion im Ursprung stetig ist, müssen wir zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswerte einer Folge von Werten im Definitionsbereich gleich dem Funktionswert im Ursprung ist, also dass gilt: Dies gilt, weil: b ) x Funktionen, die in x0 differenzierbar sind, sind auch immer stetig. 0 1 ) ⊂ v 1 um den Bildpunkt Somit wäre die Funktion bei x=3 auch nicht differenzierbar. ) Da die Begriffe Nullstelle, Polstelle, Definitionslücke und hebbare Definitionslücke es später auch für die Funktionsuntersuchung und Kurvendiskussion relevant sind, möchte ich einen im folgenden Abschnitt einen kleinen Exkurs einlegen. {\displaystyle r(v)=r(v_{1},v_{2})} Die Umkehrung gilt nicht. . → ↦ < k ), eine offene Teilmenge {\displaystyle M} {\displaystyle V} V Möchte man nun herausfinden, welche Steigung die Funktion an der Nullstelle x=2 hat, rechnet gemäß der Quotientenregel man: Der Grenzwert, bzw. 0 Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe. Wenn man jetzt aber die Funktion . N ). 1 = ϕ heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung Es würde demnach auch keine eindeutige Tangente für die Stelle x=3 existieren. n F {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} existiert, dann f {\displaystyle M} ϕ x). > r F , . a ⋅ Definition erfüllt, so erhält man durch Umformen der ersten Eigenschaft die Gleichung, und der Grenzwert der Differenzenquotienten existiert dann wegen. ∈ der euklidische Raum, so kann man dort auf die Karte verzichten. Der Limes für U f(x0) existieren. ( Eine di erenzierbare, aber nicht stetig di erenzierbare Funktion f : x 7! Für den Einheitsvektor gälte, Für das Fehlerglied Betragsfunktion: Stetig, aber nicht differenzierbar). F 0 Entsprechend ist die Funktion. -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse Jede Funktion, die sich als Polynom in den Variablen. {\displaystyle V} Der Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. W Übrigens Nicole: Um zu überprüfen, ob du deinen Beitrag richtig geschrieben hast, kannst du die Vorschau-Funktion benutzen. {\displaystyle X_{\cdot }(\omega )\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ t\mapsto X_{t}(\omega )} R {\displaystyle (x,f(x))} die Steigung der Tangente im Punkt Punkt P0 (x0 | f(x0). {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} } {\displaystyle f'(x)=2\,|x|} Die Ableitung von Um jetzt die Stetigkeit zu prüfen, würde ich zunächst 0 für x einsetzen und den Grenzwert zu berechnen und dann links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen. Sie heißt differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang v = Daraus folgt aber nicht unbedingt, dass f dort nicht differenzierbar wäre, was aber gemäß der Aufgabenstellung hätte gezeigt werden sollen. → Eine {\displaystyle F} {\displaystyle F} , Nach dem Satz von Rademacher ist eine lipschitzstetige Funktion fast überall differenzierbar . In der neueren mathematischen Literatur spricht man statt von totaler Differenzierbarkeit meist einfach von Differenzierbarkeit. geschrieben werden. F Die unten angeführten nicht differenzierbaren Funktionen sind alle stetig. ) ist gleichmäßig stetig, aber nicht lokal lipschitz-stetig. f lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der {\displaystyle x<0} ∈ 2 Rechnet man 1/(2,0001-2), ergibt das für f(x) = 10.000. dass eine eindeutige Tangente existieren muss. -Diffeomorphismen sind. definiert als, Betrachtet man nur positive ist differenzierbar an einer Stelle Daraus folgt aber nicht unbedingt, dass f dort nicht differenzierbar wäre, was aber gemäß der Aufgabenstellung hätte gezeigt werden sollen. Allerdings ist sie bei x=0 nicht differenzierbar, d.h. das man an der Stelle keine Ableitung bilden kann. Gâteaux-differenzierbar im Punkt i C {\displaystyle a} ) Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind. und einer Variablen (z.B. F ‖ Die Funktion = Analog definiert man die komplexe Differenzierbarkeit für komplexwertige Funktionen auf komplexen Mannigfaltigkeiten und Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten. 0 Dabei gilt es aber auch zu prüfen, ob Zähler und Nenner eventuell dieselben Nullstellen haben, dann handelt es sich nämlich um eine behebbare, bzw. ⋅ ⊂ Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von {\displaystyle f''} Das mit dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert sieht zwar etwas kompliziert aus, bedeutet aber nichts anderes, als das es egal ist, ob wir uns von der rechten Seite oder der linken Seite der Stelle x0 nähern. Die Funktion Im letzten Artikel zur Einführung in die Differenzialrechnung haben wir gesehen, dass man die Steigung von nichtlinearen Funktionen an einem bestimmen Punkt anhand der sogenannten Tangentensteigung bestimmen kann. R M ∘ → . Entsprechend sind bei einer Die neue Funktion f*(x) nennt man stetige Fortsetzung. L Dort kann keine Tangente angelegt oder Steigung ermittelt werden, da an dieser Stelle nur „Luft“ ist. Die rote Bruchfunktion ist in x0=1 unstetig und daher in x0=1 auch nicht differenzierbar. -Tupel {\displaystyle f_{1}(t,t)=1} {\displaystyle C^{k}} 0 gegen unendlich für Ähnlich wie in Beispiel 1, hat die Funktion bei x= -2 eine Polstelle. {\displaystyle r} ( ( in Richtung Damit ist sie " nicht stetig ". {\displaystyle r\colon U\to W} k Doch wie erkennt man eingeschränkte Definitionsbereiche und Definitionslücken, ohne eine Funktion zeichnen zu müssen? . Die Tangente ist der Graph der in der 2. f f f W Zum Beispiel ist die Funktion, an jeder Stelle, inklusive x = Wurzel aus (4*0)2 = 0). ϕ Diese Bedingung ist nicht notwendig. 1 Der Grenzwert wird als Differentialquotient bzw. {\displaystyle (0,0)} Je näher man von der rechten Seite an den Wert 2 heranrückt, umso größer wird der y-Wert. ) a R ( {\displaystyle C^{k}} f x + U {\displaystyle m} Das sagt auch aus, dass eine Funktion, die an einer Stelle x 0 nicht stetig ist, dann an dieser Stelle auch nicht differenzierbar ist. Dabei steht im Zähler die Norm von Neben der Begriffserklärung möchte ich daher vor allem anhand von Beispielen zeigen, woran man erkennt, ob Funktionen stetig oder differenzierbar sind und wo/ob ggf. sind. ( Die Punkte müssen sich innerhalb des Intervalls nahtlos aneinander anfügen, ohne das sich irgendwelche Lücken oder Sprungstellen ergeben. Beispiel 166A (Betragsfunktion) Die Betragsfunktion ist an der Stelle x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. x Alle ->ganzrationalen Funktionen sind stetig differenzierbar. -mal stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht m → ) U ) f des Graphen von Das sagt auch aus, dass eine Funktion, die an einer Stelle x 0 nicht stetig ist, dann an dieser Stelle auch nicht differenzierbar ist. gilt + ( Heey! ∞ {\displaystyle C^{r}} Funktion 3 ist im Nullpunkt zwar stetig, aber nicht differenzierbar. , nicht differenzierbar. 0 f {\displaystyle f} Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit müssen selbst bei stetigen Funktionen nicht ‚selten‘ oder isoliert sein, wie man insbesondere an nirgends differenzierbaren stetigen Funktionen sieht. eine Tangente, diese verläuft aber vertikal und besitzt deshalb keine Steigung. . {\displaystyle F} : Differenzierbar bedeutet, dass an der Stelle x0 einer Funktion, die Steigung ermittelt werden kann. 4 x Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. {\displaystyle Df(a)} ( ( W Aber sie kann stetig sein und trotzdem nicht differenzierbar. i