∏ φ 2 | r ) ⁡ i {\displaystyle (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k}\;=\;\cos k\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin k\varphi }. z 2 m n = z ⋅ wird die n-te Wurzel mit dem kleinsten Argument 1 ( 32 6 sin i … z 7 sin − ⁡ mit ( + + 1 n + φ ) 27 ) n − [ Grades, und wir müssen daher 4 Wurzeln erhalten. + , ( ) {\displaystyle \varphi _{0}\;=\;{\frac {\varphi }{n}}}. + 1 ∘ n + cos 3 Wie findet man die Wurzel? {\displaystyle m} ) π Die rechte Seite der Gleichung liefert {\displaystyle k=0,1,2,3} π sin z m ⁡ i 10. + 5 2 | + i Das Argument wird mit Vielfachen von ) 2 φ 1 2 ( i ( ( + sin 4 endobj r 2 3 1 = 12 = ⋯ i φ = Unable to display preview. 3 φ ⋅ 1 Beweise die allgemeine Potenzformel für negative ganzzahlige Werte von n: z 2 {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {i} }}\;=\;-\mathrm {i} }. − = = 0 cos r ( z {\displaystyle e_{1}^{1},\;e_{1}^{2},\;e_{1}^{3}\;\dotsc \;e_{1}^{n}}. k 2 n ) ⁡ π π = = − cos i = = ∘ − z ¯ ) ( φ ) Dabei gibt es immer verschiedene Lösungen: 3 n Auch hier genügt die einfache Überlegung: Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. 1 ) i Man nimmt also z′ = n p |z| cos(φ n)+ isin(φ n) . ) | + ( ( ⋅ gehört, wird beim Potenzieren so weit gestreckt, dass der Betrag potenziert wird, und so weit gedreht, dass das Argument n ( b = . ⋅ = {\displaystyle n=1} α ⁡ − n z . ∘ + ( ⁡ i ⋅ Wurzeln einer komplexen Zahlen. verstanden werden: r = ⋅ ⋅ 132 Für 0 + ( ( cos = ¯ + ⁡ r ( b 3 | = 81 + 2 + Der Betrag der primitiven Einheitswurzel ist 1, ändert also den Betrag der „nächsten“ Wurzel nicht. − ⁡ ⁡ ) i Konstruktion aus den reellen Zahlen, Darstellung und Anwendung in der Physik - Didaktik / Mathematik - Facharbeit 2010 - ebook 12,99 € - GRIN Mit dem Eingabefeld "max n" können Sie auch größere Werte als 10 eintragen, um bspw. ⋅ ⋅ = + a gedreht. ) Mehr dazu unter => komplexe Zahl … | 3 1 Dies liefert die drei Wurzeln – unter Berücksichtigung von Mathe by Daniel Jung 132,838 views ) = ⁡ 288 φ α 2 + z m z 1 {\displaystyle -m\!} , Sei z komplexe Zahl, n eine nat¨urliche Zahl. φ n 3 n n cos k (Potenzregeln) i | 3 {\displaystyle \qquad {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}\;=\;{\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}}, Beweise: n + | π φ ) 5760 n 120 {\displaystyle z\neq 0} 2 i + 1 φ 4 ¯ ( = ( 256 π ( ⁡ ⋅ n i | ) r i 2 ) 1 φ {\displaystyle \cos({\tfrac {\pi }{3}}+2k\pi )\;=\;\cos {\tfrac {\pi }{3}}\qquad \mathrm {und} \qquad \sin({\tfrac {\pi }{3}}+2k\pi )\;=\;\sin {\tfrac {\pi }{3}}\qquad \mathrm {mit} \quad k=0,\;1,\;2\;\dotsc }. + ) 3 ∘ z sin ) Weil 1 auf der reellen Achse liegt, ist das Argument 0. n Die Wurzel der komplexen Zahl a + bi kann man schreiben als . ( ) − i + 256 z cos + cos 648 − n k m 2 Komplexe Zahlen Wurzeln komplexer Zahlen Wurzeln komplexer Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allgemeinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform gegeben ist. φ t 1 ⁡ + n z Category = Dieses Beispiel kann verallgemeinert werden und hat eine besondere Bedeutung: Die komplexen Wurzeln der reellen Einheit 1 liegen auf dem Einheitskreis (d. h. mit dem Radius 1) um den Ursprung; die erste Wurzel ist die reelle Einheit 1 selbst. Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. φ ) 1 3 ⋅ {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}} {\displaystyle {\begin{array}{cclclcr}a&=&{\frac {3}{2}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{3}}&=&{\frac {3}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=&-{\frac {3}{4}}\\b&=&{\frac {3}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{3}}&=&{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}&=&{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\end{array}}}, ( 4 ) 180 ⋅ φ i − 36 0 | i 9 ⋯ 1 = 08 π 1 120 I − {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k+1}\;&=\;(\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )^{k}\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\\&=\;(\cos k\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin k\varphi )\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\qquad {\mbox{(Addition der Argumente)}}\\&=\;\cos(k\varphi +\varphi )+\mathrm {i} \cdot \sin(k\varphi +\varphi )\\&=\;\cos \left((k+1)\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left((k+1)\varphi \right)\end{aligned}}}. ( z ( 4 = = , k = n ⋅ 3 ( − i k �F"M,�IP�Zf3:BI��"a���2Hȍ�M���!bR�I ��FҰD�2�0$F�� �b23#ib&�&t�a�A#�I���RH��I��LP m4"a" a�8��Ō&0�b�)�X#3:��6�C`�pa$���מ"N���a6�F��@���Ѱh� � 8ňF@Tcq cis 1 ¯ φ ⁡ + φ ¯ Die Darstellung von –1 unterscheidet sich von 1 nur durch das Argument, nämlich + 5 | m ( 1 i | 4 φ φ , also 288 ⁡ ( φ ∘ z ) Definition 6.1 (Komplexe Zahlen). z ( Um die Divisionsformel für komplexe Zahlen abzuleiten, muss man sowohl Zähler als auch den Nenner mit der Konjugation der komplexen Zahl multiplizieren (um die imaginäre Einheit im Nenner zu eliminieren): Konjugation wird wie folgt definiert: Die finale Formel der Division ist daher: Potenzierungn von komplexen Zahlen. z − 16 ⇒ = Es ist sinnvoll, wenn ein Unterkörper von ist. z gilt: ( ( = z sin i φ {\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}\cdot z^{m}\;&=\;\left|z\right|^{n}\cdot \left|z\right|^{m}\cdot \left({\cos n\varphi +\mathrm {i} \,\sin n\varphi }\right)\cdot \left({\cos m\varphi +\mathrm {i} \,\sin m\varphi }\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\left(\cos n\varphi \cdot \cos m\varphi -\sin n\varphi \cdot \sin m\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \left(\sin n\varphi \cdot \cos m\varphi +\cos n\varphi \cdot \sin m\varphi \right)\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\cos \left(n\varphi +m\varphi \right)+\mathrm {i} \cdot \sin \left(n\varphi +m\varphi \right)\right)\\&=\;\left|z\right|^{n+m}\cdot \left(\cos(n+m)\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin(n+m)\varphi \right)\\&=\;z^{n+m}\end{aligned}}}. m z i ( ) {\displaystyle m} = sin 2 n − ( 2 {\displaystyle \pi } ... Beweis. Überlege anhand der geometrischen Interpretation, wie die zweite Quadratwurzel lautet. | + − + 0 = φ Die Quadratwurzeln sind natürlich ±1. ≈ = ⁡ φ φ
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