mit , ) Wenn man die Funktion betrachtet, stellt man fest, dass sie bei x=0 zwar einen Knick besitzt, aber überall definiert und stetig ist, da an jeder Stelle ein Funktionwert existiert. z 1 F heißt total differenzierbar im Punkt Ist ↦ y Die Begriffe „stetig differenzierbar“ und „differenzierbar“ sind nicht äquivalent. {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U} Lässt man jetzt x gegen 1 streben erkennt man, dass der Grenzwert für x0 = 1 durchaus existiert, er ist nämlich 2. k ∈ f f {\displaystyle \|\cdot \|} = ( Somit ist sie auch " nicht differenzierbar ". ∈ N ) {\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\to \mathbb {R} } Von Interesse ist hier nur die Differenzierbarkeit und Stetigkeit am Ursprung . Jede auf ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion ist stetig. 0 a x x Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x=3 ermitteln, so kann man sich entweder von links (… -1, 0, 1, 2) oder von rechts (4, 5, 6, 7 …) der 3 nähern. gegeben. Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen In der Funktion ist das dadurch erkennbar, dass der Nenner Null werden würde (-2 +2 = 0), der Zähler aber nicht. f(x0) existieren. Diese Funktion ist der entsprechenden Beispielfunktion einer Variablen nachgebildet, der Nachweis verläuft im Prinzip genauso wie dort. x V f {\displaystyle h\in V} Ist x0 gleichzeitig die Nullstelle des Zählers und des Nenners, entsteht der typische undefinierte Grenzwert 0/0. V Die mathematische Definition für die Differenzierbarkeit von Funktionen lautet: Die Funktion f(x) ist dann an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. V an einem „Punkt“ , oder x N 0 Die Fréchet-Ableitung kann z. Die neue Funktion f*(x) nennt man stetige Fortsetzung. r Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt. Sie ist jedoch an der Stelle (0,0) nicht total differenzierbar. Die Abbildung . von ), oder von der Klasse [ Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar. Betragsfunktion: Stetig, aber nicht differenzierbar). x ∈ Alle einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber außer in die Koordinatenrichtungen nicht die beidseitigen. für nur wenn ich jetzt in die obere Funktion 0 einsetze, teile ich ja durch 0. V Daher ist die Funktion dort auch nicht differenzierbar. , im Nenner die von ) die Steigung an der Nullstelle x=2 beträgt somit 0,25. ) {\displaystyle (V,\psi )} Somit wäre die Funktion bei x=3 auch nicht differenzierbar. ) f Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. Ein Bruch im Exponenten, z.B. differenzierbar nach der 1. a ) {\displaystyle C^{\infty }} n ( ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar und stetig. Bestimmen Sie ggf. λ a Aber sie kann stetig sein und trotzdem nicht differenzierbar. im Punkt auf eine offene Teilmenge des Wie du selbst schon geschrieben hast ist die Funktion für x = 0 nicht definiert. → nicht differenzierbar. D Die Punkte müssen sich innerhalb des Intervalls nahtlos aneinander anfügen, ohne das sich irgendwelche Lücken oder Sprungstellen ergeben. : 3 {\displaystyle L\colon V\to W} Für Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Funktionen, die auf offenen Teilmengen des euklidischen Raums definiert sind, gibt es mehrere verschieden starke Begriffe der Differenzierbarkeit. 2 Die Bestimmung des Definitionsbereichs, sowie der Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion sind wesentliche Elemente der Kurvendiskussion. -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge Die lineare Abbildung An der Stelle x= -3 nimmt die Funktion einen Knick. g der euklidische Raum, so kann man dort auf die Karte verzichten. -mal stetig differenzierbar (für bezüglich dieser Karten versteht man dann die Abbildung. , … bis zur Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe. {\displaystyle f} . Checkliste: Kann ich während des Fernstudiums mit Unterstützung rechnen? ′ x . k Dies wird anhand der folgenden Grafik nochmal verdeutlicht, in der neben der Ausgangsfunktion auch die erste Ableitungsfunktion abgebildet ist: Wie in Beispiel 3 haben wir es auch hier mit einer Betragsfunktion zu tun. gilt. Division durch null. Eine di erenzierbare, aber nicht stetig di erenzierbare Funktion f : x 7! von {\displaystyle f_{5}} 4 F Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit. D U {\displaystyle \delta F(a)} . Mathematisch lässt sich Stetigkeit wie folgt definieren: Die Funktion f(x) heißt an der Stelle x = x0 stetig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, gilt f(x) an der Stelle x = x0 als unstetig. v 19.06.2004, 23:12: Poff Die Tangente ist der Graph der in der 2. Warum gibt es nur so wenig kompetente Menschen und Lehrer auf dieser Welt?…so macht Mathe doch erst recht Spaß )), Hi, ich denke, bei der Ableitung von (4x^2)^(1/3), ich meine dein Beispiel: 3. wurzel aus 4xQudrat) hast du dich vertan. − Es gibt sozusagen eine linksseitige Tangente mit Steigung x Definition, so wählt man für Denn setzt man für x eine 1 ein, so ergibt sich sowohl im Zähler(1²-1=0), als auch im Nenner (1²-1) eine Null. a erklärt. Insbesondere gilt: Eine Funktion f Beispiel 166A (Betragsfunktion) Die Betragsfunktion ist an der Stelle x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. ) Umgekehrt braucht n Kapitel 4: Stetigkeit und Differenzierbarkeit Definition: Gegeben sei eine Funktion f : D → W, D ⊂ V, und ein x0 ∈ D′. ( − gegen die Steigung der Tangente konvergieren. die Nullabbildung und für jeden Vektor C ( 0 m Dabei gilt es aber auch zu prüfen, ob Zähler und Nenner eventuell dieselben Nullstellen haben, dann handelt es sich nämlich um eine behebbare, bzw. ) und der Differenzierbarkeitsklasse Ausnahmestellen existieren. BWL-Studium: So gut sollte Dein Englisch sein! als Gateaux-Ableitung von x M ( An der Stelle x 0 = 1 ist die Funktion zwar stetig aber nicht differenzierbar (Knick). f f -mal differenzierbar. U R braucht dies jedoch nicht zu gelten. statt gegen 0. 0 existieren, sodass für alle {\displaystyle W} Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse 0 z h Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar. f Insbesondere ist ( {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen: Differenzierbarkeit von ∘ Die totale Differenzierbarkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Analysis eine grundlegende Eigenschaft von Funktionen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über .Mittels dieser Eigenschaft lassen sich viele weitere für die Analysis bedeutsame Aussagen über Funktionen zeigen. Tipp 7 für mehr Selbstmotivation beim Fernstudium: Sei stolz auf dich! a Zu jedem Punkt Die Funktion . auf einer Mannigfaltigkeit siehe Tangentialraum und Pushforward. ∈ Denn Voraussetzung zur Differenzierbarkeit ist, dass eine eindeutige Tangente angelegt werden kann, bzw. R {\displaystyle f} Neben der Begriffserklärung möchte ich daher vor allem anhand von Beispielen zeigen, woran man erkennt, ob Funktionen stetig oder differenzierbar sind und wo/ob ggf. {\displaystyle x_{0}} D M v Im nächsten Artikel widmen wir uns zunächst dem Kernthema der Differentialrechnung, nämlich Ableitungen. Die höheren Ableitungen werden mit Auch hier gilt die Umkehrung nicht: Alle Gegenbeispiele sind Funktionen auf dem Soll eine Funktion auf Differenzierbarkeit prüfen und dein Artikel hat das echt super ausführlich erklärt. {\displaystyle x\to 0} {\displaystyle C^{k}} von einer offenen Menge , x x Wir haben bei x=-3 also sowohl eine positive Steigung, als auch eine negative Steigung. Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren D , falls ihre Kartendarstellungen V m zwischen Mannigfaltigkeiten bzw. Dann existiert die erste Ableitung f'(x), bzw. , 1 {\displaystyle x} ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar. Die Graphen von differenzierbaren Funktionen haben demgegenüber keine Knicke. 2 Eine Funktion ist genau dann total differenzierbar, wenn gilt: mit. x² oder 4x³ ist die Bestimmung des Definitionsbereichs relativ einfach. 0 0 Allerdings gilt das nicht zwingend für den Umkehrschluss. {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } δ ( Denn eine Funktion ist nur an den Stellen differenzierbar, an denen sie auch definiert ist. f U , falls die (einseitige) Richtungsableitung von F {\displaystyle F} r ) f 0 ist an der Stelle {\displaystyle f} v a ist = v x n und ω k , a ⊂ {\displaystyle h>0} {\displaystyle C^{k}} Die unten angeführten nicht differenzierbaren Funktionen sind alle stetig. Eine total differenzierbare Funktion ist auch stetig. ( k : ∈ R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} m Dabei kann eine solche Lücke entweder ein Pol sein oder eine hebbare Definitionslücke. r f Für den Begriff Gâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen: Manche Autoren nennen ein Funktional 1 , {\displaystyle f} U Betrachten wir die gebrochenrationale Funktion: Im Prinzip kann sowohl das Zählerpolynom u(x), als auch das Nennerpolynom v(x) den Wert Null annehmen. h 2 x 0 , L = M f existiert. Wenn der rechtsseitige Grenzwert nun anders, als der linksseitige Grenzwert wäre, würde das ja bedeuten, dass der Grenzwert nicht eindeutig wäre. bis auf den Fehler Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. V Funktionen, die in x0 differenzierbar sind, sind auch immer stetig. komplex differenzierbar ist. D = Folgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit: Im Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Das Beispiel zeigt deutlich, dass auch eine stetige Funktion nicht an jeder Stelle differenzierbar sein muss. − {\displaystyle M} Wenn man jetzt aber die Funktion betrachtet, so ist diese nicht stetig (Sprung an der Stelle x=0), aber doch differenzierbar: An der Stelle x=0 kann sind links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten doch identisch, nämlich 1. {\displaystyle p} {\displaystyle 0} : → a Eine Polstelle (auch „Unendlichkeitstelle“ genannt), findet man dann, wenn der Nenner Null wird und gleichzeitig das Zählerpolynom u(x) einen Wert ungleich Null annimmt. ∈ x {\displaystyle r(v)=r(v_{1},v_{2})} f 1 {\displaystyle F} R . Die rote Bruchfunktion ist in x0=1 unstetig und daher in x0=1 auch nicht differenzierbar. {\displaystyle Df(a)} Weiter sei eine Funktion 0 {\displaystyle p} können als r heißt (einseitig) differenzierbar in Richtung von . f Gâteaux-differenzierbar im Punkt Fernstudium im Kostenvergleich: Wo studiert man am günstigsten. . stetig sind, aber an bestimmten Stellen dennoch nicht differenziert werden können. Gegeben sei ein normierter Vektorraum Inwiefern dies der Fall ist und was unter den Begriffen der Differenzierbarkeit und Stetigkeit von Funktionen genau gemeint ist, soll in diesem Artikel anschaulich betrachtet werden. {\displaystyle F} für alle R δ k Übrigens Nicole: Um zu überprüfen, ob du deinen Beitrag richtig geschrieben hast, kannst du die Vorschau-Funktion benutzen. ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar. 1.Ableitung ( Produkt- und Kettenregel ) g ´( x ) = 2 * x * cos ( 1 / x ) + x^2 * ( -sin( 1 / x )) * ( … Partiell differenzierbar, aber nicht stetig und nicht alle Richtungsableitungen. {\displaystyle (k-1)} a ( → Wir betrachten einen festen Punkt Viele übersetzte Beispielsätze mit "stetig differenzierbar" – Englisch-Deutsch Wörterbuch und Suchmaschine für Millionen von Englisch-Übersetzungen. n ( Die Funktion ist in x= -2 noch definiert und daher dort weder stetig, noch differenzierbar. Dies ist eine Abbildung von der offenen Teilmenge 0 Totale Differenzierbarkeit zeigen Beispiele a an der Stelle Eine solche Funktion $${\displaystyle f}$$ ist differenzierbar an einer Stelle $${\displaystyle x_{0}}$$ aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von $${\displaystyle f}$$ an dieser Stelle existiert. 7x3 + x2 + 6x + 2, also Summen von Vielfachen von Potenzen mit einer natürlichen Zahl im Exponenten (hoch 3, hoch 2 usw.) 2x verfügen quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen etc. {\displaystyle x_{0}} R {\displaystyle f_{3}} In dem Fall ergibt sich ein sehr hoher negativer Wert. {\displaystyle k} : ) genau dann partiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors selbst und die erste Ableitung n W Existiert an der Stelle x = x0  ein Grenzwert, spricht man auch davon, dass die Funktion dort differenzierbar ist. x ist dann gegeben durch. − {\displaystyle C^{k}(D)} Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung. Überall sonst sind die Funktionen stetig differenzierbar. heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion x ) x ) {\displaystyle F\colon U\to W} U ( x : ( f an dieser Stelle existiert. Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sind Funktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. ein Einheitsvektor, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von {\displaystyle V} und ein Funktional 8 oder -8, ist egal, das Ergebnis ist immer der positive Wert, in dem Fall 8. X ) ( → 0 Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt. Zum Beispiel ist die Funktion, an jeder Stelle, inklusive Eine Funktion {\displaystyle D_{v}f_{5}(0,0)=0} v Das folgende Beispiel zeigt eine stetige und eine unstetige Funktion. ″ | Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit, sondern nur Stetigkeit in Richtung der Koordinatenachsen. V {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } total differenzierbar, so ist ϕ und eine Abbildung Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit müssen selbst bei stetigen Funktionen nicht ‚selten‘ oder isoliert sein, wie man insbesondere an nirgends differenzierbaren stetigen Funktionen sieht. , …, Bisher haben wir die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit theoretisch betrachtet, nun folgen ein paar Beispiele zum Veranschaulichen.
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